S Newtonem na kolotoči

Odstředivá síla patří mezi zdánlivé síly, ale to neznamená, že nemůže v zatáčce přivodit skutečný malér.

Ve třetím dílu sci-fi povídky Na dohled Cruithne se ocitáme na kosmické stanici s umělou gravitací. Gravitace je tu vytvářena tak, jak navrhoval již Konstantin E. Ciolkovskij. Ten nechal rotovat dutý válec, čímž na jeho vnitřním povrchu vznikal dojem gravitace. Od těch dob rotace kosmických stanic do vesmíru neodmyslitelně patří. Ne těch skutečných, takové stroje ještě nemáme a dokud bude požadavek na experimenty v nulové gravitaci, tak ještě dlouho nebudou. Ovšem k fantastickým románům i k představám vizionářů neodmyslitelně patří. Ne vždy se v těchto vizích setkáme s úvahami, co všechno může taková rotace natropit. 
Odstředivá síla

Začněme u té odstředivé síly. Tady je asi všechno jasné. Odstředivá síla nahrazuje gravitaci a tlačí nás na vnitřní stranu pláště kosmické stanice. Jediný problém je v tom, že to není pravda. Pojem odstředivé síly je velice ošidný. V mluvě se běžně užívá, každému je jasné, o co se jedná, ale čím hlouběji se fenoménu věnujeme, tím je mlhavější.

Sledujme, co se děje s kosmonautem v rotující kosmické stanici. Protože je unášen spolu s jejím povrchem, přebírá jeho rychlost. Jeho jediným přáním je, aby vyhověl Newtonovým pohybovým zákonům, hlavně tomu, který tvrdí, že těleso setrvává v rovnoměrném přímočarém pohybu. I on by rád setrval, měl by odletět po tečně pryč. To však nemůže, protože se mu do cesty staví stěna stanice. Ne tedy kosmonaut, ale plášť stanice je ten, kdo tu vyvolává sílu. Tato síla působí do středu, je tedy dostředivá.

Nemůžeme samozřejmě tvrdit, že by kosmonaut nepůsobil na plášť stanice. To by bylo proti principu akce a reakce. Ta síla tu je, nazýváme ji odstředivou, ale kosmonaut není ten, který ji způsobuje. Proto mluvíme o odstředivé síle jako o zdánlivé. Neexistuje doopravdy, to jen okolí se na kosmonauta domluvilo, aby si myslel, že je to on, kdo tu sílu vyvolává.

Kosmonaut nyní upustí kladivo a co čert nechtěl, přesně na palec. I ono sdílí s kosmonautem jeho rychlost a chtělo by si ji udržet. Dokud je ve vzuchu, tak si ji také drží a letí. Kosmonautův palec spojený s pláštěm také letí. Z počátku dokonce stejnou rychlostí a směrem jako kladivo. Jenomže jak jde čas, více a více se projevuje zakřivení jeho dráhy, která se ke kladivu přibližuje. Kosmonautovi se samozřejmě zdá, že on i plášť jsou v klidu, a to, co se přibližuje, je kladivo. Dokud nevyleze ven a nepodívá se z dálky, nikdo ho nepřesvědčí, že kladivo nepadá. 

Coriolisova síla

A přece si nakonec všimne malého rozdílu. Kladivo nespadne přesně na palec, ale kousek stranou. Čím výše kladivo zvedne, tím dále od palce dopadne, i když bude mířit sebepřesněji. Prozkoumejme situaci zevrubněji.

Zvedneme kladivo co nejvýše to půjde, tedy do osy stanice. Je tu malá komplikace, na ose nemůžeme mluvit o rotaci, kladivo nemá důvod kamkoli padat, musíme mu tedy pomoci. Pečlivě zamíříme na kosmonautův palec a hodíme. Kladivo letí tím svým rovnoměrným přímočarým pohybem a nestará se o to, co se děje kolem něj. Nevidí, že stanice i s kosmonautovým palcem se kolem něj otáčí. Nedopadne tedy na kosmonautův palec tam, kde je teď, ale tam, kde by palec i se svým kosmonautem byli, kdyby se stanice netočila. Kosmonautovi se bude opět zdát, že on stojí pevně a směr letu mění kladivo. Podlehne představě, že kladivo z jeho dráhy vychyluje nějaká tajemná síla. Tato síla se nazývá Coriolisova.

Z popisu je zřejmé, že tu žádná opravdová síla nepůsobí, je to opět jen nehmatatelný optický klam. Ovšem pozor! Tento nehmatatelný optický klam, stejně jako odstředivá síla, může mít na svědomí zcela hmatatelné následky ve chvíli, kdy jim do cesty postavíme překážku.

Coriolisova síla působí například velice hmatatelně na hmotu, která se pohybuje po poledníku na rotující Zemi. Koryta sibiřských řek tekoucích na sever jsou údajně vymílána statisticky více na levém břehu. S vlivem síly musí počítat tvůrci řídicí elektroniky balistických raket.

Jiný projev Coriolisovy síly můžeme vidět každý den při předpovědi počasí. Cyklony a anticyklony jsou vlastně obří výstupné či sestupné proudy vzduchu, jejichž stáčení má na svědomí právě rotace Země. Něco podobného lze údajně pozorovat i na vodním víru při pomalém vypouštění umyvadla. Ale tady pozor. Vytékající voda má tendenci se stáčet sama od sebe a podlehne prvnímu popudu, na kterou stranu tak bude činit. Coriolisova síla je velice slabá, snadno ji přehluší jiné jevy.

Turisté v rovníkové Africe občas narazí na místního ziskuchtivého demonstrátora fyzikálních kuriozit. S plným lavorem ukazuje, jak se v něm vír unikající vody stáčí na jednu stranu. Teorie praví, že na druhé polokouli by se měl vír stáčet opačně. Demonstrátor tedy popojde pár kroků, překročí rovník a vír se mu opravdu točí obráceně. Nikdo si nepovšimne neznatelného máchnutí rukou, které dodá vodě prvotní impuls. V tomto případě jde tedy spíše o šikovný způsob, jak vytáhnout z lavoru zátku a následně peníze z kapsy důvěřivého turisty. 
Další síly

Vidíme, že pohyby na kolotoči jsou sice přirozené, ale leckdy se vymykají naší intuitivní představě. Mohli bychom teď probírat různé kombinace, odkud kam a s jakým zrychlením se v rotující soustavě pohybovat, a zkoumat, s jakými paradoxy se ještě setkáme. Při pečlivé analýze bychom nejspíš objevili další zdánlivé síly, které tu působí, ale nikdy bychom si nebyli jisti, zda jsme našli všechny a zda jsou opravdu původní. Zda se nejedná pouze o kombinaci již popsaných sil.

Půjdeme na to tedy jinak. Nejprve nahlédneme do matematicko-fyzikální dílny, jaké máme k dispozici nástroje a pak se zamyslíme, jak je použít. Protože v rámci rekreačního čtení nechceme zkoumat matematický aparát pod lupou, nebude následovat korektní odvození, ale pouze vytyčíme cestu, po které je třeba se ubírat.

Co je dráha, to víme. Je to vzdálenost dvou bodů. Jestliže tuto vzdálenost vydělíme časem, po který se mezi body pohybujeme, získáme rychlost. Jednoduché, ale mlčky předpokládáme jeden důležitý fakt. Pohybovali jsme se rovnoměrně. Žádné zrychlení, žádné brzdění. To ale v praxi není obvyklé, každý řidič potvrdí. Pánové Newton a Leibnitz obešli tento problém velice elegantně. Řekli si, že když vezmou dostatečně krátkou vzdálenost, kterou překlenou za velice krátkou dobu, mohou předpokládat, že během té chvilky nikdo nedokáže výrazně zrychlit ani zpomalit.

Teď jen, jak krátkou vzdálenost a čas zvolit. Čím kratší, tím přesnější. Budeme tedy dělit nekonečně krátkou dobu nekonečně krátkým časem, uvažovali. To by asi napadlo leckoho, ale jen tito pánové měli na to, aby kvůli tomu vymysleli nový matematický aparát. To, co my budeme potřebovat, se nazývá derivace. Formálně se stále podobá dělení, ze kterého vyšla. Když se tedy setkáme s výrazem derivace dráhy podle času, můžeme si představit, že se tu někdo pokouší dělit nekonečně krátkou dráhu nekonečně krátkým časem. Mluví se tedy o okamžité rychlosti.

Podobně je to se zrychlením. Zrychlení je veličina vyjadřující, jak rychle měníme rychlost, neboli rychlost dělená časem, po novu derivace rychlosti podle času. Když chceme dostat zrychlení z dráhy, stačí dráhu zderivovat podle času, tím získáme rychlost a další derivací pak zrychlení. Říkáme, že zrychlení je druhou derivací dráhy podle času.

Pokud byly předchozí úvahy příliš složité, stačí si zapamatovat, že máme k dispozici nástroj, kterým z dráhy a času získáme zrychlení. A ještě jednu věc mějme na paměti, že od zrychlení je jen malý krůček k síle. Stačí ho vynásobit hmotností, na kterou působí. A síla, to je to, co jsme se chystali prozkoumat.

Naší krátkou exkurzi do světa derivací jsme začali pojmem dráha. Pokusme se tedy vyjádřit dráhu, kterou urazí bod na kolotoči. K tomu budeme potřebovat dvě souřadné soustavy. Jednu pevnou a jednu spojenou s kolotočem. Dráha se spočítá jako rozdíl souřadnic.

Pro převod mezi souřadnicemi v obou soustavách lze odvodit středně obtížný vztah, který není důležité na tomto místě rozepisovat. Důležité je, uvědomit si, že již máme vše, co je třeba k výpočtu. Máme vyjádření dráhy v rotující soustavě a víme, k čemu vede derivace dráhy.

Když dvakrát zderivujeme dráhu v rotující soustavě, rozmnoží se nám členy převodního vztahu na čtyři položky. Víme, že po dvojí derivaci máme před sebou čtyři druhy zrychlení, potažmo síly.

Dvě z nich již dokážeme identifikovat. Jedna odpovídá odstředivé síle, druhá Coriolisově. Se zbylými dvěma jsme se v úvahách ještě nesetkali, ale jejich existence nás nejspíš nepřekvapí.

Zatím jsme uvažovali pouze pasivně rotující kosmickou stanici. Výpočet nám ukázal, že jsme se tím vlastně dopustili zjednodušení, díky kterým nám dvě síly utekly. Nepočítali jsme s tím, že se rotace stanice může zrychlovat nebo zpomalovat. Podobně, jako když se roztáčí nebo brzdí řetízkový kolotoč, pak nás naše setrvačná hmota vychýlí dozadu, nebo dopředu. Tato síla se nazývá Eulerova.

A co když kosmická stanice chce změnit místo? Pak ji musí nějaký kosmický tahač popadnout na každé straně za osu a někam odtáhnout. To se neobejde bez zrychlení způsobeného obyčejným posunem. To je ta poslední síla, se kterou třeba počítat.

Poslední? Co když praskne lano a kosmický tahač zabere jen za jeden konec a změní tím směr osy kosmické stanice? Ta se pak zachová jako těžký setrvačník a začne tanec. Doslova. Ale to už je jiný případ, o něm v některém z příštích blogů.

	a